تقدير المساحة ومجموع ريمان وقاعدة شبه المنحرف

هذا الموضوع يوافق الصف الثاني عشر العلمي في الكتب السورية (الجزء الأول، الوحدة ٧: التكامل المحدّد وحساب المساحة). لا نستطيع حساب المساحة تحت منحنٍ مباشرة، لكنّنا نقسّمها إلى شرائح رفيعة. نستبدل كل شريحة بمستطيل: المساحة = العرض × الارتفاع. نقرأ الارتفاع من الحافة اليسرى للشريحة (المجموع الأيسر) أو من حافتها اليمنى (المجموع الأيمن).

في التابع المتزايد يكون المجموع الأيسر أصغر من المساحة الحقيقية والمجموع الأيمن أكبر منها. وإذا اعتبرنا الشرائح أشباه منحرفات فمساحة كل منها a + b٢×h حيث a و b ارتفاعا الضلعين الجانبيين و h عرض الشريحة.

كلما صارت الشرائح أرفع اقتربت التقديرات من عدد واحد. هذه النهاية هي التكامل المحدد، والمجاميع التي تقترب منه تسمّى مجموع ريمان.